← Wszystkie rozdziały
ROZDZIAŁ 05

Graniastosłupy
i ostrosłupy.

Poznajemy bryły, ich elementy, siatki, pola powierzchni i objętości oraz uczymy się obliczać długości odcinków występujących w przestrzeni.

NA POCZĄTEK

Gdzie wykorzystujemy bryły w prawdziwym życiu?

Graniastosłupy i ostrosłupy spotykamy znacznie częściej, niż mogłoby się wydawać. Geometria przestrzenna pomaga obliczać ilość materiału, pojemność, powierzchnię i wymiary rzeczywistych obiektów.

Budownictwo Projektowanie budynków, fundamentów, dachów i konstrukcji.
Opakowania Pudełka, kartony i pojemniki mają często kształt prostopadłościanów.
Architektura Dachy, wieże i kopuły mogą mieć kształty przypominające ostrosłupy.
Magazynowanie Objętość pozwala określić, ile materiału zmieści się w zbiorniku lub pomieszczeniu.
Produkcja Pole powierzchni pomaga obliczyć ilość materiału potrzebnego do wykonania przedmiotu.
Druk 3D Modele przestrzenne można opisywać za pomocą wymiarów i objętości brył.
01

Graniastosłupy

Graniastosłup to bryła, która ma dwie przystające i równoległe podstawy. Pozostałe ściany są równoległobokami.

podstawa h podstawa

Elementy graniastosłupa

Podstawy Dwie przystające i równoległe figury.
Ściany boczne Są równoległobokami, a w graniastosłupie prostym — prostokątami.
Krawędzie Odcinki ograniczające ściany bryły.
Wysokość Odległość między płaszczyznami podstaw.

Rodzaje graniastosłupów

  • graniastosłup trójkątny,
  • graniastosłup czworokątny,
  • graniastosłup pięciokątny,
  • graniastosłup sześciokątny itd.

Możemy również wyróżnić graniastosłupy proste i pochyłe.

02

Pole powierzchni graniastosłupa

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa składa się z pól dwóch podstaw oraz pól wszystkich ścian bocznych.

Pc = 2Pp + Pb

Dla graniastosłupa prostego pole powierzchni bocznej możemy obliczyć jako:

Pb = Obwód podstawy · h

Zatem:

Pc = 2Pp + Obwód podstawy · h
Przykład — prostopadłościan

Prostopadłościan ma wymiary:

a = 4 cm,   b = 3 cm,   h = 5 cm

Pole powierzchni:

Pc = 2(ab + ah + bh)
Pc = 2(4·3 + 4·5 + 3·5) = 94 cm²

Pole powierzchni prostopadłościanu

Podaj trzy wymiary bryły.

Wynik pojawi się tutaj.
03

Objętość graniastosłupa

Objętość graniastosłupa otrzymujemy, mnożąc pole podstawy przez wysokość.

V = Pp · h

W przypadku prostopadłościanu:

V = a · b · h
Przykład

Pudełko ma wymiary 40 cm × 20 cm × 15 cm.

V = 40 · 20 · 15
V = 12 000 cm³

Objętość prostopadłościanu

Zmień wymiary i zobacz, jak zmienia się objętość.

Wynik pojawi się tutaj.
::contentReference[oaicite:0]{index=0}
04

Odcinki w graniastosłupach

W graniastosłupach możemy obliczać długości różnych odcinków: krawędzi, przekątnych ścian oraz przekątnych bryły.

Przekątna prostopadłościanu

Jeżeli prostopadłościan ma wymiary a, b i h, jego przekątna przestrzenna d spełnia:

d = √(a² + b² + h²)
Przykład

Dany jest prostopadłościan:

a = 3, b = 4, h = 12

Obliczamy:

d = √(3² + 4² + 12²)
d = √169 = 13

Przekątna bryły ma długość 13.

Przekątna prostopadłościanu

Wynik pojawi się tutaj.
05

Rodzaje ostrosłupów

Ostrosłup to bryła, która ma jedną podstawę będącą wielokątem oraz ściany boczne będące trójkątami. Wszystkie ściany boczne mają wspólny wierzchołek.

h wierzchołek podstawa

Podział ostrosłupów

Ostrosłup nazywamy zależnie od liczby boków podstawy:

Ostrosłup trójkątny Podstawą jest trójkąt. Szczególnym przypadkiem jest czworościan.
Ostrosłup czworokątny Podstawą jest czworokąt.
Ostrosłup pięciokątny Podstawą jest pięciokąt.
Ostrosłup sześciokątny Podstawą jest sześciokąt.

W ostrosłupie prawidłowym podstawa jest wielokątem foremnym, a wierzchołek znajduje się nad środkiem podstawy.

06

Siatki ostrosłupów

Siatka bryły to figura płaska, którą możemy złożyć w daną bryłę przestrzenną.

Siatka ostrosłupa składa się z:

  • jednej podstawy,
  • trójkątów tworzących ściany boczne.
podstawa ściana boczna
Jak rozpoznać poprawną siatkę?
  1. Znajdź podstawę ostrosłupa.
  2. Sprawdź, czy do każdego boku podstawy dołączony jest jeden trójkąt.
  3. Sprawdź, czy po złożeniu wszystkie trójkąty spotkają się w jednym wierzchołku.
07

Pole powierzchni ostrosłupa

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest sumą pola podstawy oraz pól wszystkich ścian bocznych.

Pc = Pp + Pb

W ostrosłupie prawidłowym ściany boczne są przystającymi trójkątami.

Jeżeli znamy obwód podstawy i wysokość ściany bocznej (apotemę) l, możemy zastosować:

Pb = 1/2 · Obwód podstawy · l
Pc = Pp + 1/2 · Obwód podstawy · l
Przykład — ostrosłup prawidłowy czworokątny

Bok podstawy ma 6 cm, a wysokość ściany bocznej wynosi 5 cm.

Pp = 6² = 36
Pb = 1/2 · 24 · 5 = 60
Pc = 36 + 60 = 96 cm²

Pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego czworokątnego

Podaj bok podstawy oraz wysokość ściany bocznej.

Wynik pojawi się tutaj.
08

Objętość ostrosłupa

Objętość ostrosłupa jest równa jednej trzeciej iloczynu pola podstawy i wysokości.

V = 1/3 · Pp · h
Przykład

Podstawa ostrosłupa jest kwadratem o boku 6 cm, a wysokość ostrosłupa wynosi 10 cm.

Pp = 6² = 36 cm²
V = 1/3 · 36 · 10
V = 120 cm³

Objętość ostrosłupa

Podaj pole podstawy oraz wysokość ostrosłupa.

Wynik pojawi się tutaj.
09

Odcinki w ostrosłupach

W ostrosłupach możemy spotkać kilka ważnych odcinków:

Krawędź podstawy Leży w płaszczyźnie podstawy.
Krawędź boczna Łączy wierzchołek ostrosłupa z wierzchołkiem podstawy.
Wysokość ostrosłupa Jest odcinkiem prostopadłym do podstawy.
Wysokość ściany bocznej Jest wysokością trójkąta tworzącego ścianę boczną.

Wysokość a wysokość ściany bocznej

To dwa różne odcinki. Wysokość ostrosłupa oznaczamy najczęściej przez h, a wysokość ściany bocznej przez l.

h l

Związek między odcinkami

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym możemy utworzyć trójkąt prostokątny złożony z:

  • wysokości ostrosłupa h,
  • połowy przekątnej podstawy,
  • krawędzi bocznej lub wysokości ściany bocznej.

Dzięki temu często możemy wykorzystać twierdzenie Pitagorasa.

l² = h² + (a/2)²

Dla ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, gdy l oznacza wysokość ściany bocznej.

Oblicz wysokość ściany bocznej

Dla ostrosłupa prawidłowego czworokątnego podaj wysokość h oraz bok podstawy a.

Wynik pojawi się tutaj.
10

Sprawdź się

Zadanie 1 — objętość

Prostopadłościan ma wymiary 3 cm, 4 cm i 5 cm. Oblicz jego objętość.

Wynik pojawi się tutaj.

Zadanie 2 — pole powierzchni

Sześcian ma krawędź długości 4 cm. Jakie jest jego pole powierzchni?

Wynik pojawi się tutaj.

Zadanie 3 — objętość ostrosłupa

Pole podstawy ostrosłupa wynosi 30 cm², a wysokość 9 cm. Oblicz objętość.

Wynik pojawi się tutaj.

Zadanie 4 — przekątna bryły

Prostopadłościan ma wymiary 3, 4 i 12. Jaka jest jego przekątna?

Wynik pojawi się tutaj.

Zadanie 5 — objętość ostrosłupa

Ostrosłup ma pole podstawy 45 cm² i wysokość 6 cm. Oblicz objętość.

Wynik pojawi się tutaj.