Rachunek prawdopodobieństwa

NA POCZĄTEK

Gdzie wykorzystujemy prawdopodobieństwo?

Prawdopodobieństwo pozwala określać, jak bardzo możliwe jest wystąpienie określonego zdarzenia. Spotykamy je znacznie częściej, niż mogłoby się wydawać.

Prognoza pogody Prawdopodobieństwo opadów informuje nas, jak duża jest szansa wystąpienia deszczu.

Ubezpieczenia Firmy ubezpieczeniowe analizują prawdopodobieństwo wystąpienia różnych zdarzeń.

Medycyna Prawdopodobieństwo wykorzystuje się podczas analizy wyników badań i ryzyka chorób.

Sport Możemy analizować prawdopodobieństwo zwycięstwa drużyny lub zawodnika.

Gry komputerowe Losowanie przedmiotów, krytyczne trafienia i inne mechanizmy często wykorzystują losowość.

Kontrola jakości Prawdopodobieństwo pozwala oceniać ryzyko, że losowo wybrany produkt będzie wadliwy.

Podstawowe pojęcia

Doświadczenie losowe to doświadczenie, którego wyniku nie możemy przewidzieć z całkowitą pewnością.

Rzut monetą Możemy otrzymać orła albo reszkę.

Rzut kostką Możemy otrzymać jedną z liczb od 1 do 6.

Losowanie karty Nie wiemy wcześniej, którą kartę wylosujemy.

Losowanie kul Wynik zależy od tego, którą kulę wybierzemy.

Zdarzenie

Zdarzenie to określony wynik lub zbiór wyników doświadczenia losowego.

Przykład: rzucamy sześcienną kostką.

A — wyrzucenie liczby parzystej,
B — wyrzucenie liczby większej od 4,
C — wyrzucenie szóstki.

Zdarzenie pewne i niemożliwe

Zdarzenie pewne Zajdzie na pewno. Prawdopodobieństwo wynosi 1.

Zdarzenie niemożliwe Nie może zajść. Prawdopodobieństwo wynosi 0.

0 ≤ P(A) ≤ 1

Prawdopodobieństwo można również podawać w procentach. Na przykład:

0,5 = 50%

Prawdopodobieństwo klasyczne

Jeżeli wszystkie wyniki doświadczenia są jednakowo prawdopodobne, możemy zastosować klasyczny wzór na prawdopodobieństwo.

::contentReference[oaicite:0]{index=0}

P(A) = liczba wyników sprzyjających / liczba wszystkich wyników

Możemy zapisać krócej:

P(A) = |A| / |Ω|

gdzie:

|A| — liczba wyników sprzyjających zdarzeniu A,
|Ω| — liczba wszystkich możliwych wyników.

Przykład — rzut kostką

Rzucamy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby parzystej?

Możliwe wyniki:

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Liczby parzyste to:

A = {2, 4, 6}

Mamy 3 wyniki sprzyjające i 6 wszystkich wyników.

P(A) = 3/6 = 1/2 = 50%

Interaktywny rzut kostką

Kliknij przycisk i wykonaj rzut kostką. Program będzie zapisywał wyniki.

Nie wykonano jeszcze żadnego rzutu.

Doświadczenie losowe

Prawdopodobieństwo teoretyczne mówi nam, czego oczekujemy przy bardzo dużej liczbie prób. W pojedynczym doświadczeniu wynik może być zupełnie inny.

Przykład z monetą

Dla uczciwej monety:

P(orzeł) = 1/2 = 50%

Nie oznacza to jednak, że po 10 rzutach otrzymamy dokładnie 5 orłów i 5 reszek.

Im więcej wykonujemy prób, tym bardziej częstość otrzymywanych wyników zbliża się do wartości teoretycznej.

::contentReference[oaicite:1]{index=1}

Zdarzenie przeciwne

Zdarzenie przeciwne do zdarzenia A oznaczamy najczęściej przez A'. Jest to zdarzenie, które zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zdarzenie A nie zachodzi.

P(A') = 1 − P(A)

Przykład

Rzucamy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że nie wyrzucimy szóstki?

Najpierw:

P(szóstka) = 1/6

Zatem:

P(nie szóstka) = 1 − 1/6 = 5/6

Czyli około:

83,33%

Kalkulator zdarzenia przeciwnego

Podaj prawdopodobieństwo zdarzenia A w procentach.

Wynik pojawi się tutaj.

Suma zdarzeń

Suma zdarzeń A i B oznacza, że zachodzi A lub B.

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Odejmujemy prawdopodobieństwo części wspólnej, ponieważ została policzona dwa razy.

Przykład — kostka

Rzucamy kostką.

A — wyrzucenie liczby parzystej:

A = {2,4,6}

B — wyrzucenie liczby większej od 3:

B = {4,5,6}

Część wspólna:

A ∩ B = {4,6}

Zatem:

P(A ∪ B) = 3/6 + 3/6 − 2/6 = 4/6 = 2/3

::contentReference[oaicite:2]{index=2}

Zdarzenia niezależne

Dwa zdarzenia są niezależne, jeżeli wystąpienie jednego z nich nie wpływa na prawdopodobieństwo wystąpienia drugiego.

Przykładem są dwa kolejne rzuty monetą. Wynik pierwszego rzutu nie wpływa na wynik drugiego.

P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

Przykład — dwie monety

Rzucamy monetą dwa razy. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania dwóch orłów?

P(orzeł) = 1/2

Ponieważ rzuty są niezależne:

P(orzeł i orzeł) = 1/2 · 1/2 = 1/4 = 25%

::contentReference[oaicite:3]{index=3}

Drzewko prawdopodobieństwa

Drzewko prawdopodobieństwa pomaga analizować doświadczenia, które składają się z kilku etapów.

Przykładowo losujemy kulę, odkładamy ją i następnie losujemy kolejną. Każda gałąź drzewa przedstawia możliwy wynik.

Krok 1 Wypisz wszystkie możliwe wyniki pierwszego etapu.

Krok 2 Do każdego wyniku dopisz możliwe wyniki kolejnego etapu.

Krok 3 Pomnóż prawdopodobieństwa znajdujące się na kolejnych gałęziach.

Krok 4 Dodaj prawdopodobieństwa interesujących nas ścieżek.

Przykład

W pudełku znajdują się 3 kule: 2 czerwone i 1 niebieska. Losujemy jedną kulę, odkładamy ją, a następnie losujemy ponownie.

Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch czerwonych kul:

2/3 · 2/3 = 4/9

Czyli około:

44,44%

Symulacja prawdopodobieństwa

Komputer może wykonać bardzo dużą liczbę doświadczeń losowych. Dzięki temu możemy porównać prawdopodobieństwo teoretyczne z wynikiem eksperymentalnym.

1000 rzutów kostką

Program wykona automatycznie 1000 rzutów. Sprawdzimy, jak często pojawi się każda liczba.

Kliknij przycisk, aby rozpocząć symulację.

Co powinniśmy zaobserwować?

Teoretycznie każda liczba od 1 do 6 ma takie samo prawdopodobieństwo:

P(1) = P(2) = ... = P(6) = 1/6 ≈ 16,67%

Wyniki symulacji nie będą idealnie równe, ale powinny być do siebie zbliżone.

Sprawdź się

Zadanie 1

Rzucamy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby większej od 4?

Zadanie 2

Rzucamy monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki?

Zadanie 3

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 0,7. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego?

Zadanie 4