← Wszystkie rozdziały
ROZDZIAŁ 06

Symetrie
i odbicia.

Poznajemy symetrię względem prostej i punktu, osie oraz środki symetrii figur, a także dwusieczną kąta i symetrię odcinka.

NA POCZĄTEK

Gdzie wykorzystujemy symetrię?

Symetria występuje zarówno w matematyce, jak i w otaczającym nas świecie. Dzięki niej możemy opisywać kształty, projektować przedmioty i tworzyć powtarzalne wzory.

Architektura Fasady budynków, okna, drzwi i dekoracje często wykorzystują symetrię.
Przyroda Skrzydła motyli, liście i wiele innych organizmów wykazuje symetrię.
Grafika i design Symetryczne elementy pomagają tworzyć uporządkowane i estetyczne projekty.
Inżynieria Symetryczne konstrukcje pozwalają równomiernie rozkładać obciążenia.
Fotografia Symetria jest często wykorzystywana przy komponowaniu zdjęć.
Mozaiki i wzory Powtarzające się symetryczne elementy tworzą dekoracyjne wzory.
01

Symetria względem prostej

Symetria względem prostej nazywana jest również symetrią osiową.

Jeżeli punkt A przekształcamy przez symetrię względem prostej, otrzymujemy punkt A'. Prosta jest wtedy osią symetrii.

Najważniejsze zasady:

  • odcinek AA' jest prostopadły do osi symetrii,
  • oś symetrii dzieli AA' na połowy,
  • punkt leżący na osi symetrii nie zmienia położenia,
  • odległości i kąty zostają zachowane.
A A' oś symetrii

Jak znaleźć punkt symetryczny?

1
Z punktu A poprowadź odcinek prostopadły do osi symetrii.
2
Zmierz odległość punktu A od osi.
3
Po drugiej stronie osi zaznacz punkt A' w takiej samej odległości.

Interaktywna symetria osiowa

Przesuń punkt A za pomocą pól poniżej. Program wyznaczy jego odbicie względem osi y.

Wynik pojawi się tutaj.
02

Oś symetrii figury

Oś symetrii figury to prosta, względem której figura jest symetryczna sama do siebie.

Po złożeniu figury wzdłuż osi symetrii jej obie części pokrywają się.

Kwadrat Ma 4 osie symetrii.
Prostokąt Ma 2 osie symetrii.
Trójkąt równoboczny Ma 3 osie symetrii.
Koło Ma nieskończenie wiele osi symetrii.

Liczba osi symetrii zależy od rodzaju figury. Warto nauczyć się rozpoznawać je bez wykonywania obliczeń.

Ile osi symetrii?


Wybierz figurę.
03

Symetria odcinka

Symetralna odcinka to prosta prostopadła do odcinka i przechodząca przez jego środek.

Symetralna odcinka = prosta prostopadła do odcinka przechodząca przez jego środek.

Każdy punkt leżący na symetralnej odcinka jest w takiej samej odległości od obu końców odcinka.

A B S symetralna

Ważna własność

Jeżeli punkt P leży na symetralnej odcinka AB, to:

PA = PB

Sprawdź własność symetralnej

Podaj odległości punktu P od końców odcinka.

Wynik pojawi się tutaj.
04

Dwusieczna kąta

Dwusieczna kąta to półprosta, która dzieli kąt na dwa kąty o równych miarach.

∠BAC = ∠DAB
dwusieczna

Dwusieczna ma także ważną własność: każdy punkt leżący na dwusiecznej kąta znajduje się w równej odległości od obu ramion kąta.

Oblicz kąty

Podaj miarę całego kąta. Program obliczy miary dwóch kątów po podziale przez dwusieczną.

Wynik pojawi się tutaj.
05

Symetria względem punktu

Symetria względem punktu nazywana jest symetrią środkową.

Punkt S jest środkiem symetrii między punktem A i jego obrazem A', jeżeli:

SA = SA'

oraz punkty A, S i A' leżą na jednej prostej.

A S A' SA SA'

Współrzędne punktu symetrycznego

Jeżeli środkiem symetrii jest początek układu współrzędnych O(0,0), to punkt:

A(x,y) → A'(-x,-y)
Przykład

Punkt A ma współrzędne:

A(3, -5)

Jego obraz względem punktu O(0,0) to:

A'(-3, 5)

Odbij punkt względem początku układu

Wynik pojawi się tutaj.
06

Środek symetrii figury

Punkt S jest środkiem symetrii figury, jeżeli symetria względem punktu S przekształca figurę na nią samą.

Innymi słowy — każdemu punktowi figury odpowiada punkt po przeciwnej stronie środka.

Równoległobok Ma środek symetrii w punkcie przecięcia przekątnych.
Prostokąt Środkiem symetrii jest punkt przecięcia przekątnych.
Kwadrat Ma środek symetrii w punkcie przecięcia przekątnych.
Odcinek Środkiem symetrii jest środek odcinka.
S

Oś symetrii a środek symetrii

Symetria osiowa Symetria środkowa
Odbywa się względem prostej. Odbywa się względem punktu.
Prosta jest osią symetrii. Punkt jest środkiem symetrii.
Obraz jest jak odbicie w lustrze. Obraz można uzyskać przez obrót o 180°.

Czy figura ma środek symetrii?


Wybierz figurę.
07

Sprawdź się

Zadanie 1 — symetria osiowa

Punkt A ma współrzędne (4, 3). Podaj współrzędne punktu symetrycznego względem osi Y.

Wynik pojawi się tutaj.

Zadanie 2 — symetria środkowa

Punkt A ma współrzędne (-2, 5). Odbij go względem początku układu współrzędnych.

Wynik pojawi się tutaj.

Zadanie 3 — dwusieczna

Dwusieczna podzieliła kąt 86°. Ile stopni ma każdy z powstałych kątów?

Wynik pojawi się tutaj.

Zadanie 4 — symetralna

Punkt P leży na symetralnej odcinka AB. Jeżeli PA = 7 cm, to ile wynosi PB?

Wynik pojawi się tutaj.

Zadanie 5 — osie symetrii

Ile osi symetrii ma kwadrat?

Wynik pojawi się tutaj.