← Wszystkie rozdziały
ROZDZIAŁ 02

Wyrażenia
algebraiczne.

Nauczysz się zapisywać informacje za pomocą symboli, upraszczać wyrażenia oraz rozwiązywać równania.

NA POCZĄTEK

Gdzie wykorzystujemy to w prawdziwym życiu?

Algebra pozwala opisywać sytuacje, w których nie znamy jeszcze wszystkich wartości. Zamiast za każdym razem wykonywać obliczenia od początku, możemy stworzyć wzór, który działa dla wielu różnych przypadków.

Zakupy Cena kilku takich samych produktów może być zapisana jako 5x.
Telefon i internet Abonament może być opisany jako stała opłata + koszt dodatkowych usług.
Budownictwo Pole, obwód i objętość można wyrażać za pomocą wzorów zawierających niewiadome.
Podróż Drogę można obliczyć ze wzoru s = vt, gdy znamy prędkość i czas.
Finanse Raty, odsetki, rabaty i koszty można opisywać za pomocą równań.
Programowanie Zmienne i wzory matematyczne są podstawą wielu algorytmów.
01

Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenie algebraiczne to zapis matematyczny, w którym oprócz liczb mogą występować litery. Litera oznacza najczęściej wartość, której jeszcze nie znamy lub którą możemy zmieniać.

3x + 5

W tym wyrażeniu:

  • x — zmienna,
  • 3 — współczynnik liczbowy,
  • 5 — wyraz wolny.

Przykład z życia

Cena zakupów

Jedna butelka wody kosztuje x zł. Kupujemy 4 butelki i dodatkowo płacimy 3 zł za reklamówkę.

4x + 3

Oblicz wartość wyrażenia

Wyrażenie: 3x + 5

Podaj wartość x.

Wynik pojawi się tutaj.
02

Jednomiany

Jednomian to wyrażenie, które jest iloczynem liczb i zmiennych.

3x Współczynnik: 3
−5a Współczynnik: −5
2xy Współczynnik: 2
7x² Współczynnik: 7

Iloczyn jednomianów

3x · 4x = 12x²

Mnożymy współczynniki, a następnie korzystamy z praw działań na potęgach.

03

Redukcja wyrazów podobnych

Wyrazy podobne mają takie same części literowe. Możemy je dodawać i odejmować, wykonując działania na ich współczynnikach.

3x + 5x = 8x
7a − 2a = 5a
4x + 3 + 2x − 1 = 6x + 2

Redukcja wyrazów podobnych

Podaj współczynniki w wyrażeniu: ax + bx

Wynik pojawi się tutaj.
04

Usuwanie nawiasów

Aby usunąć nawias poprzedzony liczbą, mnożymy tę liczbę przez każdy składnik znajdujący się w nawiasie.

3(x + 4) = 3x + 12
2(3x − 5) = 6x − 10

Minus przed nawiasem

Jeżeli przed nawiasem znajduje się znak minus, zmieniamy znaki wszystkich składników w nawiasie.

−(x + 5) = −x − 5
−(x − 7) = −x + 7
05

Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia pozwalają szybko wykonywać określone działania na wyrażeniach algebraicznych.

Kwadrat sumy

(a + b)² = a² + 2ab + b²
::contentReference[oaicite:0]{index=0}

Kwadrat różnicy

(a − b)² = a² − 2ab + b²
::contentReference[oaicite:1]{index=1}

Różnica kwadratów

a² − b² = (a − b)(a + b)
::contentReference[oaicite:2]{index=2}
Przykład

Rozwiń:

(x + 3)²

Korzystamy ze wzoru:

x² + 2 · x · 3 + 3²

Ostatecznie:

x² + 6x + 9
06

Równania

Równanie to równość, w której występuje niewiadoma. Naszym zadaniem jest znaleźć wartość niewiadomej, dla której równość jest prawdziwa.

x + 5 = 12

Szukamy takiej wartości x, aby lewa i prawa strona były sobie równe.

1
x + 5 = 12 Odejmujemy 5 od obu stron.
2
x = 7 Otrzymaliśmy rozwiązanie.
3
Sprawdzenie: 7 + 5 = 12 Równość jest prawdziwa.

Zasada równania

Do obu stron równania możemy dodać, odjąć, pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę różną od zera.

Rozwiąż równanie

Rozwiąż równanie postaci: ax + b = c

Wynik pojawi się tutaj.

Równania kwadratowe

Równanie kwadratowe ma postać:

ax² + bx + c = 0

Do jego rozwiązania często wykorzystujemy wyróżnik, czyli deltę.

::contentReference[oaicite:3]{index=3}
Δ = b² − 4ac

Jeżeli Δ > 0, równanie ma dwa rozwiązania. Jeżeli Δ = 0, ma jedno rozwiązanie. Jeżeli Δ < 0, nie ma rozwiązań rzeczywistych.

07

Równania w zadaniach tekstowych

Równania są szczególnie przydatne wtedy, gdy w zadaniu występuje nieznana wartość. Możemy oznaczyć ją literą i stworzyć równanie.

Przykład — zakupy

Ania kupiła 3 zeszyty po tej samej cenie. Zapłaciła za nie 24 zł. Ile kosztował jeden zeszyt?

Oznaczamy cenę jednego zeszytu przez x.

3x = 24

Dzielimy obie strony przez 3:

x = 8

Jeden zeszyt kosztował 8 zł.

Zadanie interaktywne

4 bilety kosztują razem 60 zł. Ile kosztuje jeden bilet?

Wynik pojawi się tutaj.